课：反三角函数

其实感觉最大难点就是记住一定要在主值范围内，然后熟练运用诱导公式即可。

1.反函数

只有满足单射的才有反函数。

对于初等函数，在一段连续区间上，单射等价于严格单调。

所以对于初等函数，若定义域连续且单调，则有反函数。

互为反函数的图像关于 $y=x$ 对称。

因为默认 $y$ 为因变量，$x$ 为自变量，所以在用 $y=f(x)$ 反解出 $x=g(y)$ 后，要写成 $y=g(x)$。这两个才是反函数。

2.三角函数

不太常见的：

$$\cot x=\frac{1}{\tan x}\\ \sec x=\frac{1}{\cos x}\\ \csc x=\frac{1}{\sin x}\\$$

3.反三角函数

arcsinx

定义域：$x \in [-1,1]$

值域：$y \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$

单调性：单调递增

奇偶性：奇函数

周期性：无

结论：

$$\arcsin(\sin x)=x\ (x\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}])\\ \sin(\arcsin x)=x\ (x \in [-1,1])$$

一定要注意第一条结论的范围！！！

例一

已知 $y=\sin x \ (x \in [\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}])$，求其反函数。

解：

$$\because x \in [\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]\\ \therefore x-\pi\in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\\ \because \sin(x-\pi)=-\sin x=-y\\ \therefore x-\pi=\arcsin (-y) \\ \therefore x=\pi -\arcsin y\\ 即反函数为\ y=\pi -\arcsin x$$

方法：

其实就是凑一下弄到 $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ 里然后诱导公式就行了。

arccosx

定义域：$x \in [-1,1]$

值域：$y \in [0,\pi]$

单调性：单调递减

奇偶性：无

周期性：无

结论：

$$\arccos(\cos x)=x\ (x\in[0,\pi])\\ \cos(\arccos x)=x\ (x \in [-1,1])\\ \arccos (-x)=\pi - \arccos x\\ \arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}$$

例二

计算：$\arccos(\cos \frac{11\pi}{6})=\_\_\_\_\_\_$

方法：

还是诱导公式把角化到主值区间内。

arctanx

定义域：$x \in (-\infty,\infty)$

值域：$y \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$

单调性：单调递增

奇偶性：奇函数

周期性：无

结论：

$$\arctan(\tan x)=x\ (x\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}))\\ \tan(\arctan x)=x\ (x \in R)\\$$

arccotx

定义域：$x \in (-\infty,\infty)$

值域：$y \in (0,\pi)$

单调性：单调递减

奇偶性：无

周期性：无

结论：

$$\text{arccot}\ x(\cot x)=x\ (x\in(0,\pi))\\ \cot(\text{arccot}\ x )=x\ (x \in (-\infty,\infty))\\ \text{arccot} (-x)=\pi - \text{arccot}\ x\\ \text{arccot}\ x+\arctan x=\frac{\pi}{2}$$